Logaritmación

Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.

Por ejemplo:

5 ⁰ = 1

5¹ = 5

5² = 25

5³ = 125, etc.

Luego -                 siendo la base 5, el logaritmo de 1 = log₅ 1 = 0 

Porque -               0 es el exponente al que hay que elevar la base 5  para que dé 1, 

Entonces 

el log₅ 5 = 1

el log₅ 25 = 2

el log₅ 125 = 3

Nota:  
- No existe el logaritmo de los números negativos.

- El argumento y la base de un logaritmo son números reales positivos. Además, la base no puede ser 1. Es decir, en la expresión log_b a, siempre, por definición, a ∈ R⁺ y  b ∈ R⁺ – {1}.

- La expresión log_b a , se lee como: “logaritmo de a en base b”.

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Ejemplo 1:

- Calcular el valor de log₇ 343

                    log₇ 343 = x

Entonces, ya que la base del logaritmo es 7, el exponente no se conoce y 343 es el argumento, es decir, el valor de la potencia, se puede escribir:

7^x =343

7^x = 7³

luego, igualando los exponentes, se concluye que

x= 3

                    log₇ 343 = 3

Ejemplo 2:

Calcular el valor de log_0,7 0,343

                       

                      log_0,7 0,343 = x

Luego:

0,7^x = 0,343

0,7^x = (0,7)³

Luego, igualando exponentes tenemos:

x=3

                      log_0,7 0,343 = 3

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PROPIEDADES

Logaritmo de la unidad

El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a 0.

log_b (1) = 0 ;  con b ≠ 1.

Ejemplos: 

log₅ (1)    =  0    ⇔     5⁰    =  1

log₇ (1)    =  0    ⇔     7⁰    =  1

log₂₀ (1)  =  0    ⇔     20⁰  =  1

Logaritmos de la base

El logaritmo de la base es igual a 1.

log_b (b) = 1 ; con b ≠ 1.

Ejemplos:

log₅ (5)     = 1   ⇔  5¹   =  5

log₆ (6)     = 1   ⇔  6¹   =  6

log₁₂ (12)  = 1  ⇔  12¹  = 12

Logaritmo de una potencia con igual base

El logaritmo de una potencia de un número es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo del número.

log_b bⁿ = n,  con b ≠ 1

Ejemplo:

log₆ 6 ³ = 3

Logaritmo de un producto

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

log_b (a • c) = log_b a + log_b  c

Ejemplos

log₂ (16 • 8) = log₂ 16 + log₂ 8    =   4+3  = 7

log₃ (243 • 27) = log₃ 243 + log₃ 27    =   5+3   = 8

log₅ (25 • 125) = log₅ 25 + log₅ 125    =   2+3  =  5

log₆ (1296 • 216) = log₆ 1296 + log₆ 216   =  4+3  =  7

Logaritmos de un cociente

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo, menos el logaritmo del divisor.

Ejemplo:

             

log₂ (16/8) = log₂ 16 + log₂ 8   =  4 - 3  =  1

log₅ (625/25) = log₅ 625 + log₅ 25   =  4 - 2  =  2

log₃ (243/27) = log₃ 243 + log₃ 27   =  5 - 3  =  2

Logaritmo de una potencia

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

log_a cⁿ = n log_a c 

Ejemplos:

log₂ 8 ³ = 3 * log₂ 8  = 3*3 = 9

log₂ 16 ² = 2 * log₂ 16  = 2*4 = 8

log₃ 81 ² = 2 * log₃ 81  = 2*4 = 8 

log₅ 125 ³ = 3 * log₅ 125  = 3*3 = 9

Logaritmo de una raíz

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre el índice de la raíz.

Ejemplo:

Cambio de base

 

para todo p, a, b > 0;  b, c ≠ 1

Ejemplo:

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RELACIÓN ENTRE POTENCIACIÓN Y LOGARITMACIÓN

INTRODUCCIÓN A LOS LOGARITMOS

Vídeo de YouTube: Profe Alex - https://www.youtube.com/watch?v=pZTuEHrnOMg

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Fuentes de consulta e información

https://www.portaleducativo.net/segundo-medio/35/logaritmos-propiedades

https://www.vitutor.com/al/log/log.html